MATEMÁTICA
– Prof. Edmilton (Ed)
Introdução ao Fatorial
Na matemática,
o fatorial de um número natural n,
representado por n!, é o
produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n. A notação n! foi introduzida por Christian Kramp em 1808.
Fatorial
Segundo tal
definição, o fatorial de 5 é representado por 5! e
lê-se 5 fatorial. 5! é igual a 5 . 4 . 3 . 2 . 1 que
é igual a 120, assim como 4! é igual a 4 . 3 . 2 . 1 que
é igual a 24, como 3! é igual a 3 . 2 . 1que
é igual a 6 e que 2! é igual a 2 . 1 que
é igual a 2.
Por definição tanto 0!,
quanto 1! são iguais a 1.
Vimos que 5! é
equivalente a 5 . 4 . 3 . 2 . 1,
mas note que também podemos escrevê-lo de outras formas, em função de fatoriais
menores, tais como 4!, 3! e 2!:
1.
5! = 5 . 4!
2.
5! = 5 . 4 . 3!
3.
5! = 5 . 4 . 3 . 2!
4.
9! = 9 . 8!
5.
9! = 9 . 8 . 7!
6.
7! = 7 . 6!
Para um fatorial genérico temos:
n! = n . (n - 1)! = n . (n - 1) . (n - 2)! = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . 1!
Observe atentamente os exemplos
seguintes:
1.
(n + 3)! = (n + 3) . (n + 2)!
2.
(n + 3)! = (n + 3) . (n + 2) . (n + 1)!
3.
(n + 1)! = (n + 1) . n!
Estes conceitos são utilizados em muitos
dos problemas envolvendo Arranjos, permutações para solução mais complexa da ANÁLISE COMBINATÓRIA.
Observe a fração abaixo:
Vimos que 5! é
equivalente a 5! = 5 . 4 . 3!. Então
podemos escrever a fração da seguinte forma:
Agora podemos simplificar o 3! do
numerador com o 3! do denominador. Temos então:
Análise Combinatória é um conjunto de
procedimentos que possibilita a construção de grupos diferentes formados por um
número finito de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias.
Na maior parte das vezes, tomaremos
conjuntos Z com m elementos e os grupos formados com elementos de Z terão p
elementos, isto é, p será a taxa do agrupamento, com p<m.
Arranjos, Permutações ou Combinações,
são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que eles podem ser simples,
com repetição ou circulares. Apresentaremos alguns detalhes de tais
agrupamentos.
Observação: É comum
encontrarmos na literatura termos como: arranjar, combinar ou permutar, mas
todo o cuidado é pouco com os mesmos, que às vezes são utilizados em concursos
em uma forma dúbia!
Permutações
Quando
formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m elementos sejam
distintos entre sí pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição
ou circulares.
Permutação
simples: São
agrupamentos com todos os m elementos distintos.
Fórmula: Ps(m) = m!.
Cálculo para o
exemplo: Ps(3)
= 3!=6.
Exemplo: Seja C={A,B,C} e m=3. As permutações
simples desses 3 elementos são 6 agrupamentos que não podem ter a repetição de
qualquer elemento em cada grupo mas podem aparecer na ordem trocada. Todos os
agrupamentos estão no conjunto:
Ps={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}
Arranjos
São agrupamentos formados com p
elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam distintos entre sí pela
ordem ou pela espécie. Os arranjos podem ser simples ou com repetição.
Arranjo simples: Não ocorre a
repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.
Fórmula: As(m,p)
= m!/(m-p)!
Cálculo para o
exemplo: As(4,2) = 4!/2!=24/2=12.
Exemplo: Seja
Z={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos simples desses 4 elementos tomados 2 a 2
são 12 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento mas que podem
aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
As={AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC}
Combinações
Quando
formamos agrupamentos com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos
sejam distintos entre sí apenas pela espécie.
Combinação
simples: Não
ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.
Fórmula: C(m,p) = m!/[(m-p)! p!]
Cálculo para o
exemplo: C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As
combinações simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 6 grupos que não podem
ter a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Todos
os agrupamentos estão no conjunto:
Cs={AB,AC,AD,BC,BD,CD}
“A Matemática é o alfabeto com o qual
Deus escreveu o Universo. Galileu
Galilei
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