CRIANDO GRAFICOS - EXCEL

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ANALISE!

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Lista Exercício Nº 2 - Média Aritmética, Mediana e Moda

C.E. GISNO

Matemática

Prof. Ed

Valor do Trabalho 1,0 Ponto

Nome:

Turma:

Questão 1. Nos quatro primeiros dias úteis de uma semana o gerente de uma agência bancária atendeu 19, 15, 17 e 21 clientes. No quinto dia útil dessa semana esse gerente atendeu n clientes. Se a média do número diário de clientes atendidos por esse gerente nos cinco dias úteis dessa semana foi 19, a mediana foi

(A) 21.

(B) 19.

(C) 18.

(D) 20.

(E) 23.

Questão 2. A tabela que segue é demonstrativa do levantamento realizado por determinado batalhão de Polícia Militar, no que se refere às idades dos policiais integrantes do grupo especial desse batalhão:

A moda, média e mediana dessa distribuição são, respectivamente, iguais a:

Idade            Nr. de Policiais

25                          12

28                          15

30                          25

33                          15

35                          10

40                           8

Questão 3. A tabela abaixo representa os dados dos balanços das operações do Batalhão de Polícia de Trânsito (BPTran) da Polícia Militar – ES em três grandes feriados nacionais do ano de 2012.

Dia do trabalho:   220 acidentes, 2 mortos, 78 feridos

Dia de finados:     186 acidentes, 2 mortos, 54 feridos

Dia do trabalho:   219 acidentes, 1 mortos, 51 feridos

O valor que melhor representa a média do número de feridos, de acordo com a tabela acima, é:

A) 57

B) 59

C) 61

D) 63

E) 65

 Questão 4 Considere a seguinte amostra aleatória das idades em anos completos dos alunos em um curso preparatório. Com relação a essa amostra, marque a única opção correta:

29, 27, 25, 39, 29, 27, 41, 31, 25, 33, 27, 25, 25, 23, 27, 27, 32, 26, 24, 36, 32, 26, 28, 24, 28, 27, 24, 26, 30, 26, 35, 26, 28, 34, 29, 23, 28.

a) A média e a mediana das idades são iguais a 27.

b) A moda e a média das idades são iguais a 27.

c) A mediana das idades é 27 e a média é 26,08.

d) A média das idades é 27 e o desvio-padrão é 1,074.

e) A moda e a mediana das idades são iguais a 27.

Questão  5. O governo ainda espera a consolidação dos dados do primeiro mês de aplicação da Lei Seca para avaliar seu impacto sobre a cassação de CNHs. As primeiras projeções indicam, porém, que as apreensões subirão, no mínimo, 10%.

Antes da vigência da Lei Seca, eram suspensas ou cassadas, em média, aproximadamente 155.000 CNHs por ano. Se as previsões estiverem corretas, a média anual deve subir para próximo de 170.000. A tabela a seguir mostra esses resultados nos últimos anos( fonte: DENATRAN ).

Para que a média de CNHs suspensas ou cassadas, de 2003 a 2008, atinja o valor previsto de 170.000, será necessário que, em 2008, a quantidade de CNHs suspensas ou cassadas seja um número

A) inferior a 180.000.

B) superior a 180.000 e inferior a 200.000.

C) superior a 200.000 e inferior a 220.000.

D) superior a 220.000 e inferior a 240.000.

E) superior a 240.000

DESVIO PADRÃO

Desvio padrão

Variância e desvio padrão são medidas de dispersão que indicam a regularidade de um conjunto de dados em função da média aritmética.

Imagine a seguinte situação: o dono de uma microempresa pretende saber, em média, quantos produtos são produzidos por cada funcionário em um dia. O chefe tem conhecimento que nem todos conseguem fazer a mesma quantidade de peças, mas pede que seus funcionários façam um registro de sua produção em uma semana de trabalho. Ao fim desse período, chegou-se à seguinte tabela:

Para saber a produção média de seus funcionários, o chefe faz o cálculo da média aritmética  de produção, isto é, a soma do número de peças produzido em cada dia dividida pela quantidade analisada de dias.

A partir desse cálculo, temos a produção diária média de cada funcionário. Mas se observarmos bem a tabela, veremos que há valores distantes da média. O funcionário B, por exemplo, produz uma média de 12,8 peças por dia. No entanto, houve um dia em que ele produziu 16 peças e outro dia em que ele confeccionou apenas 10 peças. Será que o processo utilizado pelo dono da empresa é suficiente para o seu propósito?

Para esse exemplo, ficou fácil concluir que há uma grande variação entre a produção de cada funcionário. Mas e se essa fosse uma grande empresa, com mais de mil funcionários, ou se fosse observada a produção em um ano, será que conseguiríamos definir essa variação com tanta facilidade?

O estudo da Estatística apresenta medidas de dispersão que permitem a análise da dispersão dos dados. Inicialmente veremos a variância, uma medida de dispersão que mostra quão distantes os valores estão da média. Nesse caso, como estamos analisando todos os valores de cada funcionário, e não apenas uma “amostra”, trata-se do cálculo da variância populacional (var).

O cálculo da variância populacional é obtido através da soma dos quadrados da diferença entre cada valor e a média aritmética, dividida pela quantidade de elementos observados. Observe o cálculo simplificado para esse exemplo:

Observação: se estivéssemos trabalhando com a variância amostral, dividiríamos pela quantidade de elementos observados subtraída de um (– 1). Nesse exemplo, teríamos: 5 dias – 1 = 4 dias.Vamos então calcular a variância populacional para cada funcionário:

Variância → Funcionário A:

var (A) = (10 – 10)² + (9 – 10)² + (11 – 10)² + (12 – 10)² + (8 – 10)²
       5

var (A) = 10 = 2,0
      5

Variância → Funcionário B:

var (B) = (15 – 12,8)² + (12 – 12,8)² + (16 – 12,8)² + (10 – 12,8)² + (11 – 12,8)²
    5

var (B) = 26,8 = 5,36
    5

Variância → Funcionário C:

var (C) = (11 – 10,4)² + (10 – 10,4)² + (8 – 10,4)² + (11 – 10,4)² + (12 – 10,4)²
    5

var (C) = 9,2 = 1,84
    5

Variância → Funcionário D:

var (D) = (8 – 11)² + (12 – 11)² + (15 – 11)² + (9 – 11)² + (11 – 11)²
      5

var (D) = 30 = 6,0
      5

Podemos afirmar que a produção diária do funcionário C é mais uniforme do que a dos demais funcionários, assim como a quantidade de peças diárias de D é a mais desigual. Quanto maior for a variância, mais distantes da média estarão os valores, e quanto menor for a variância, mais próximos os valores estarão da média.

Em algumas situações, apenas o cálculo da variância pode não ser suficiente, pois essa é uma medida de dispersão muito influenciada por valores que estão muito distantes da média. Além disso, o fato de a variância ser calculada “ao quadrado” causa uma certa camuflagem dos valores, dificultando sua interpretação. Uma alternativa para solucionar esse problema é o desvio padrão, outra medida de dispersão.

O desvio padrão (dp) é simplesmente o resultado positivo da raiz quadrada da variância. Na prática, o desvio padrão indica qual é o “erro” se quiséssemos substituir um dos valores coletados pelo valor da média. Vamos agora calcular o desvio padrão da produção diária de cada funcionário:

Desvio Padrão → Funcionário A:

dp(A) = √var (A)
dp(A) = √2,0
dp(A) ≈ 1,41

Desvio Padrão → Funcionário B:

dp(B) = √var (B)
dp(B) = √5,36
dp(B) ≈ 2,32

Desvio Padrão → Funcionário C:

dp(C) = √var (C)
dp(C) = √1,84
dp(C) ≈ 1,36

Desvio Padrão → Funcionário D:

dp(D) = √var (D)
dp(D) = √6,0
dp(D) ≈ 2,45

Podemos ver a utilização do desvio padrão na apresentação da média aritmética, informando o quão “confiável” é esse valor. Isso é feito da seguinte forma:

média aritmética (x) ± desvio padrão (dp)

Se o dono da empresa de nosso exemplo pretende concluir seu relatório com a produção média diária de seus funcionários, ele fará da seguinte forma:

Funcionário A: 10,0 ± 1,41 peças por dia
Funcionário B: 12,8 ± 2,32 peças por dia
Funcionário C: 10,4 ± 1,36 peças por dia
Funcionário D: 11,0 ± 2,45 peças por dia

V

DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA - EXCEL

DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIA

As variáveis quantitativas contínuas, pela sua própria natureza, tendem a assumir muitos valores diferentes. No Censo Demográfico, por exemplo, investiga-se o rendimento bruto do responsável pelo domicílio no mês de referência. Como as respostas podem assumir muitos valores diferentes, é comum agruparem-se os dados em classes e apresentar as frequências dessas classes. Neste caso, o histograma é o gráfico apropriado para representar tal distribuição. Considere a seguinte situação exemplo:

Como parte de um estudo para se definir um novo cardápio mais balanceado para a merenda escolar, todos os alunos de uma escola de ensino médio foram pesados, registrando-se os pesos em quilogramas. O aluno mais magro pesava 40,8 kg e o mais pesado, 84,6 kg.

Inicialmente, os alunos deverão ser agrupados, de acordo com o peso, em 5 classes de mesmo comprimento. Veja a seguir uma distribuição possível com o respectivo histograma.

Altere os valores das frequências de cada classe e observe as mudanças na tabela e no gráfico.

Note que na escala do eixo horizontal aparecem os limites das classes da tabela de frequências e no eixo vertical, temos a escala para representar as frequências dessas classes. Você vai ver agora como definir os limites das classes e como construir o histograma.

Limites das Classes

Agrupamento em classes

  •  O objetivo é colocar alunos com pesos semelhantes em um mesmo grupo ou classe.

  •  Todo aluno tem que pertencer a alguma classe.

  •  Nenhum aluno pode pertencer a mais de uma classe. 

Classes de mesmo comprimento

  •  Em todas as classes, temos a mesma variação entre o menor peso e o maior peso.

  •  Temos que obter 5 intervalos de mesmo comprimento que “cubram” os pesos de todos os alunos.

                                                  

Definição do tipo de intervalo

Como usar esses limites?

Se um aluno pesa 55 kg, não há dúvidas: este aluno deve ser contado na segunda classe.

Analogamente, um aluno com 66,5 kg tem que ser contado na terceira classe.

Mas, por exemplo, o que fazer com os alunos que pesam exatamente 49 quilos?

Se esses alunos forem colocados na segunda classe, então o intervalo que define a segunda classe tem que conter o 49 (fechado) e o intervalo que define a primeira classe não pode conter o 49 (aberto):

1ª. classe: 40, 49)

2ª. classe: [49, 58

Por outro lado, é conveniente que os intervalos sejam todos do mesmo tipo; então, as duas primeiras classes têm que ser [40, 49) e [49, 58) e pelo mesmo motivo, as outras classes devem ser definidas de modo análogo, o que nos leva às seguintes classes:

[40, 49)     [49, 58)     [58, 67)     [67, 76)     [76, 85)

•  Na primeira classe serão contados os alunos com peso maior ou igual a 40 e menor que 49.

•  Na segunda classe, serão contados os alunos com peso maior ou igual a 49 e menor que 58.

•  Na terceira classe, serão contados os alunos com peso maior ou igual a 58 e menor que 67.

•  Na quarta classe, serão contados os alunos com peso maior ou igual a 67 e menor que 76.

•  Na quinta classe, serão contados os alunos com peso maior ou igual a 76 e menor que 85.

Contagem das frequências absolutas

Depois de definidos os intervalos de classe, temos que contar quantos elementos pertencem a cada classe. Para fazer essa contagem à mão, é conveniente fazer uma marcação na classe correspondente de cada valor, para evitar verificar os dados mais de uma vez.

Para ilustrar, considere os dados abaixo. Escolha uma forma de ler os dados: por linha ou por coluna.

Arraste cada valor para a sua classe e veja a marcação criada.

Se você tentar colocar o dado na classe errada, o programa emitirá um sinal de alerta e você terá que arrastá-lo de novo. 

Vamos ver, agora, como construir o histograma para esta distribuição.

Construção do Histograma

As características gerais de um histograma são as seguintes:

  •  É um gráfico formado por retângulos.

  •  A área de cada retângulo deve ser proporcional à frequência (absoluta ou relativa) da classe.

  •  As bases dos retângulos estão sobre o eixo das abscissas.

  •  O comprimento de cada base corresponde ao comprimento do respectivo intervalo de classe.

  •  Em geral, as classes têm o mesmo comprimento (ou amplitude).

Vamos construir o histograma para a distribuição obtida, trabalhando com as frequências relativas:

[40, 49): 12,5%   [49, 58): 22,5%   [58, 67): 35,0%   [67, 76): 22,5%   [76, 85): 7,5%

MÉDIA, MEDIANA E MODA

Média:
Geralmente quando aparece apenas o termo “média”, há referência à média aritmética. Ela é calculada a partir do somatório de valores de determinados elementos dividido pela quantidade de elementos somados. Uma variação é amédia aritmética ponderada.

Mediana:
Dada uma sequência de valores ordenados em ordem crescente ou decrescente, a mediana é o valor central dessa sequência. Caso haja dois valores centrais, a mediana é dada pela média aritmética deles.

Moda:
Quando dizemos que uma roupa está na moda é porque muitas pessoas estão usando essa roupa. Na Estatística, não é muito diferente. Dado um conjunto de valores, a moda é o número que mais se repete.

Vamos analisar duas questões de provas anteriores do Enem para vermos como costumam aparecer as questões que envolvem média, mediana e moda.

Questão com média, mediana e moda no Enem de 2010

O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no último campeonato. A coluna da esquerda mostra o número de gols marcados e a coluna da direita informa em quantos jogos o time marcou aquele número de gols.

Gols marcados	Quantidade de partidas
0	5
1	3
2	4
3	3
4	2
5	2
7	1

Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e a moda dessa distribuição, então

a) X = Y < Z.
b) Z < X = Y.
c) Y < Z < X.
d) Z < X < Y.
e) Z < Y < X.

Primeiramente, vamos calcular a média (X). Nesse caso, utilizaremos a média ponderada, que nada mais é do que uma especificação da média aritmética. Se houve cinco partidas com nenhum gol, deveríamos somar 0 + 0 + 0 + 0 + 0; três partidas com um gol: 1 + 1 + 1 e assim por diante. Através do cálculo da média ponderada, temos:

X = 0.5 + 1.3 + 2.4 + 3.3 + 4.2 + 5.2 + 7.1
5 + 3 + 4 + 3 + 2 + 2 + 1
X = 0 + 3 + 8 + 9 + 8 + 10 + 7
      5 + 3 + 4 + 3 + 2 + 2 + 1
X =  45
       20
X = 2,25

Vamos calcular a mediana (Y). Para isso, basta organizar os gols marcados em ordem crescente:

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 7

Ao organizarmos os gols marcados em ordem crescente, podemos observar que há dois valores centrais. Vamos então fazer o cálculo da média aritmética entre eles:

Y = 2 + 2
       2
Y = 2

Resta-nos encontrar a moda (Z). Para isso, basta olhar na tabela e verificar qual é a maior quantidade de partidas com o mesmo número de gols marcados. Facilmente podemos constatar que houve cinco partidas sem nenhum gol marcado. Ao olharmos a sequência montada para verificar a mediana, também podemos ver que o número zero é o que mais se repete. Portanto, a moda é zero.
Se Z = 0, Y = 2 e X = 2,25, então a alternativa correta é a letra e, que apresenta Z < Y < X. 

Questão com média, mediana e moda no Enem de 2011

Uma equipe de especialistas do centro meteorológico de uma cidade mediu a temperatura do ambiente, sempre no mesmo horário, durante 15 dias intercalados, a partir do primeiro dia de um mês. Esse tipo de procedimento é frequente, uma vez que os dados coletados servem de referência para estudos e verificação de tendências climáticas ao longo dos meses e anos. As medições ocorridas nesse período estão indicadas no quadro.

Dia do mês	Temperatura (em ºC)
1	15,5
3	14
5	13,5
7	18
9	19,5
11	20
13	13,5
15	13,5
17	18
19	20
21	18,5
23	13,5
25	21,5
27	20
29	16

Em relação à temperatura, os valores da média, mediana e moda são, respectivamente, iguais a

a) 17 °C, 17 °C e 13,5 °C.
b) 17 °C, 18 °C e 13,5 °C.
c) 17 °C, 13,5 °C e 18 °C.
d) 17 °C, 18 °C e 21,5 °C.
e) 17 °C, 13,5 °C e 21,5 °C

Vamos procurar o valor da média aritmética somando todos os valores de temperatura encontrados e dividindo a soma pela quantidade de dias analisados:

M.A. = 15,5+14+13,5+18+19,5+20+13,5+13,5+18+20+18,5+13,5+21,5+20+16
15
M.A. = 255
            15
M.A. = 17

A média das temperaturas é de 17° C.
Para calcular a mediana, vamos organizar os valores em ordem crescente:

13,5; 13,5; 13,5; 13,5; 14; 15,5; 16; 18; 18; 18,5; 19,5; 20; 20; 21,5; 20

O valor central é o 18, então, sem que seja necessário fazer qualquer cálculo, podemos afirmar que a mediana é 18°C.

A moda é o valor mais frequente entre as informações apontadas. A temperatura de 13,5°C aparece quatro vezes na tabela, sendo a mais frequente. Portanto, a moda é 13,5°C.

Sendo assim, a alternativa correta é a letra b, que aponta que a média, a mediana e a moda são, respectivamente, 17°C, 18°C e 13,5°C.

Considere a seguinte amostra aleatória das idades em anos completos dos alunos em um curso preparatório. Com relação a essa amostra, marque a única opção correta:

29, 27, 25, 39, 29, 27, 41, 31, 25, 33, 27, 25, 25, 23, 27, 27, 32, 26, 24, 36, 32, 26, 28, 24, 28, 27, 24, 26, 30, 26, 35, 26, 28, 34, 29, 23, 28.

a) A média e a mediana das idades são iguais a 27.

b) A moda e a média das idades são iguais a 27.

c) A mediana das idades é 27 e a média é 26,08.

d) A média das idades é 27 e o desvio-padrão é 1,074.

e) A moda e a mediana das idades são iguais a 27.

Resolução:

Primeiramente vamos colocar as 37 idades em ordem crescente:

23, 23, 24, 24, 24, 25, 25, 25, 25, 26, 26, 26, 26, 26, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 28, 28, 28, 28, 29, 29, 29, 30, 31, 32, 32, 33, 34, 35, 36, 39, 41.

A moda é o valor que aparece com mais frequência. Note que o 27 aparece 6 vezes e nenhum outro aparece com tanta frequência.

A mediana é o valor que, após ordenar todos os valores, se encontra no centro. Note que o 27 se encontra na posição 19º, ou seja, exatamente no meio.