FOTOS - AGRADECIMENTO

Meus queridos, agradeço todo esse momento em que passamos juntos. Saibam que não apenas vocês aprenderam comigo, como eu também aprendi muito com vocês. A tristeza que sinto é pela saudade em não estar em sala junto com vocês. E sempre se lembrem que:

-Vocês são CAPAZES;

- Que eu DESEJO tudo de BOM para vocês;

- Pensem que o ESTUDO deve ter um COMEÇO, mas nunca um FIM;

- Nunca permitam que o mundo acabe com seus SONHOS;

- FOQUE e LUTE pelo que você acredita ser CERTO;

- E saibam que seu professor estará sempre presente em seus CORAÇÕES, pois vocês estarão no meu!

MEU MUITO OBRIGADO PELA PACIÊNCIA, ATENÇÃO E DEDICAÇÃO NESSES TRÊS MESES QUE ESTIVEMOS JUNTOS!

Prof. Ed 

Lista Exercício 3

Lista Exercício 3 – Equações da Reta

C.E. GISNO

Matemática - Prof. Ed

Nome:

Turma:

01. (FEI) As retas 2x – y = 3 e 2x + ay = 5 são perpendiculares. Então:

a) a = -1
b) a = 1
c) a = -4
d) a = 4
e) n.d.a.

02. Determinar a reta perpendicular a 2x – 5y = 3 pelo ponto P(-2; 3)  

03. (USP) A equação da reta que passa pelo ponto (3; 4) e é paralela à bissetriz do 2° quadrante é:

a) y = z – 1
b) x + y – 7 = 0
c) y = x + 7
d) 3x + 6y = 3
e) n.d.a.

04. Determinar o ponto B simétrico de A(-4; 3) em relação à reta x + y + 3 = 0.

05. Determinar a reta perpendicular à reta de equação x + 2y – 3 = 0 no seu ponto de abscissa igual a 5.

06. Determinar a equação da mediatriz do segmento de extremos A(-3; 1) e B(5; 7).

07. As retas (r) 2x + 7y = 3 e (s) 3x – 2y = -8 se cortam num ponto P. Achar a equação da reta perpendicular a r pelo ponto P.

08. As retas 3x + 2y – 1 = 0 e -4x + 6y – 10 = 0 são:

a) paralelas
b) coincidentes
c) perpendiculares
d) concorrentes e não perpendiculares
e) n.d.a.

09. (USP) A equação da reta passando pela origem e paralela à reta determinada pelos pontos A(2; 3) e B(1; -4) é:

a) y = x
b) y = 3x – 4
c) x = 7y
d) y = 7x
e) n.d.a

10. Os pontos P(x, y) tais que | x | + | y | = 4 constituem:

a) um par de retas
b) um par de semi-retas
c) o contorno de um quadrado
d) quatro retas paralelas
e) o contorno de um triângulo

LISTA EXERCÍCIOS 3

01. (FEI) As retas 2x – y = 3 e 2x + ay = 5 são perpendiculares. Então:

a) a = -1
b) a = 1
c) a = -4
d) a = 4
e) n.d.a.

02. Determinar a reta perpendicular a 2x – 5y = 3 pelo ponto P(-2; 3)  

03. (USP) A equação da reta que passa pelo ponto (3; 4) e é paralela à bissetriz do 2° quadrante é:

a) y = z – 1
b) x + y – 7 = 0
c) y = x + 7
d) 3x + 6y = 3
e) n.d.a.

04. Determinar o ponto B simétrico de A(-4; 3) em relação à reta x + y + 3 = 0.

05. Determinar a reta perpendicular à reta de equação x + 2y – 3 = 0 no seu ponto de abscissa igual a 5.

06. Determinar a equação da mediatriz do segmento de extremos A(-3; 1) e B(5; 7).

07. As retas (r) 2x + 7y = 3 e (s) 3x – 2y = -8 se cortam num ponto P. Achar a equação da reta perpendicular a r pelo ponto P.

08. As retas 3x + 2y – 1 = 0 e -4x + 6y – 10 = 0 são:

a) paralelas
b) coincidentes
c) perpendiculares
d) concorrentes e não perpendiculares
e) n.d.a.

09. (USP) A equação da reta passando pela origem e paralela à reta determinada pelos pontos A(2; 3) e B(1; -4) é:

a) y = x
b) y = 3x – 4
c) x = 7y
d) y = 7x
e) n.d.a

10. Os pontos P(x, y) tais que | x | + | y | = 4 constituem:

a) um par de retas
b) um par de semi-retas
c) o contorno de um quadrado
d) quatro retas paralelas
e) o contorno de um triângulo

Respostas:

01. D

02. D

03. B

04. B = (-6; 1)

05. 2x – y – 11 = 0

06. 4x + 3y – 16 = 0

07. 7x – 2y + 16 = 0

08. C

09. D

10. C

Aula reta

Equação geral

   Podemos estabelecer a equação geral de uma reta a partir da condição de alinhamento de três pontos.

   Dada uma reta r, sendo A(x_A, y_A) e B(x_B, y_B) pontos conhecidos e distintos de r e P(x,y) um ponto genérico, também de r, estando A, B e P alinhados, podemos escrever:

    Fazendo y_A - y_B = a, x_B - x_A = b e x_Ay_B - x_By_A=c, como a e b não são simultaneamente nulos , temos:

ax + by + c = 0

(equação geral da reta r)

   Essa equação relaciona x e y para qualquer ponto P genérico da reta. Assim, dado o ponto P(m, n):

• se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta;
• se am + bn + c 0, P não é ponto da reta.

                                        Acompanhe os exemplos:

• Vamos considerar a equação geral da reta r que passa por A(1, 3) e B(2, 4).

        Considerando um ponto P(x, y) da reta, temos:

• Vamos verificar se os  pontos P(-3, -1) e Q(1, 2) pertencem à reta r do exemplo anterior. Substituindo as coordenadas de P em x - y + 2 = 0, temos:

-3 - (-1) + 2 = 0 -3 + 1 + 2 = 0

   Como a igualdade é verdadeira, então P  r.

   Substituindo as coordenadas de Q em x - y + 2 = 0, obtemos:

1 - 2 + 2  0

   Como a igualdade não é verdadeira, então Q r.

Equação segmentária

   Considere a reta r não paralela a nenhum dos eixos e que intercepta os eixos nos pontos P(p, 0) e Q(0, q), com :

   A equação geral de r é dada por:

    Dividindo essa equação por pq  , temos:

    Como exemplo, vamos determinar a equação segmentária da reta que passa por P(3, 0) e Q(0, 2), conforme o gráfico:

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

A distância permeia todos os conceitos da Geometria Analítica, pois, nessa área da Matemática, temos a relação de elementos geométricos com os algébricos, e o elemento básico da Geometria é o ponto.

Um dos conceitos básicos da Geometria é que a menordistância entre dois pontos é dada por uma reta. Na Geometria Analítica, esses pontos recebem coordenadas no plano cartesiano e, por meio dessas coordenadas, podemos encontrar o valor da distância entre dois pontos.

Distância entre dois pontos: representação geométrica

Vamos representar dois pontos quaisquer no plano cartesiano.

A distância entre os pontos A e B é a medida do segmento que tem os dois pontos como extremidade. Por se tratar de dois pontos quaisquer, representaremos as coordenadas desses pontos de maneira genérica.

Sabe-se que os eixos coordenados do plano cartesiano são ortogonais, portanto, podemos construir um triângulo retângulo utilizando os pontos A e B, como mostra a figura a seguir.

Fórmula para o cálculo da distância entre dois pontos

Note que o segmento AB é a hipotenusa do triângulo AOB, e a medida de AB corresponde à distância entre esses dois pontos. Por se tratar de um triângulo retângulo, podemos aplicar o teorema de Pitágoras:

d²_AB = AO² = BO²

Entretanto, temos:

AO = X_B – X_A e BO = Y_B – Y_A

Portanto, a expressão fica da seguinte forma:

d²_AB = (X_B – X_A)² + (Y_B -Y_A)²

Por fim, temos que:

Note que basta fazer as diferenças das coordenadas de cada um dos pontos e elevar ao quadrado.

Exemplo

Calcule a distância entre os pontos A (4,5) e B(1,1) e represente-os geometricamente.

Como vimos anteriormente, basta aplicar a expressão para o cálculo da distância entre dois pontos. Sendo assim:

Geometricamente:

Ponto, reta e plano

Entes primitivos

A definição dos entes primitivos ponto, reta e plano é quase impossível, o que sabe-se muito bem e aqui será o mais importante é sua representação geométrica e espacial.

Representação, (notação)

→ Pontos serão representados por letras latinas maiúsculas; ex: A, B, C,...
→ Retas serão representados por letras latinas minúsculas; ex: a, b, c,...
→ Planos serão representados por letras gregas minúsculas; ex:

Representação gráfica

Postulados primitivos da geometria, qualquer postulado ou axioma é aceito sem que seja necessária a prova, contanto que não exista a contraprova.

1º Numa reta bem como fora dela há infinitos pontos distintos.
2º Dois pontos determinam uma única reta (uma e somente uma reta).

3º Pontos colineares pertencem à mesma reta.

4º Três pontos determinam um único plano.

5º Se uma reta contém dois pontos de um plano, esta reta está contida neste plano.

6º Duas retas são concorrentes se tiverem apenas um ponto em comum.

Observe que  . Sendo que H está contido na reta r e na reta s.

EXERCÍCIO EXCEL

EXPECTATIVA DE VIDA AO NASCER (1960-2010)
País	1960	1970	1980	1990	2000	2010
Brasil	54,7	58,9	62,7	66,5	70,3	73,1
EUA	69,8	70,8	73,7	75,2	76,6	78,5
Reino Unido	71,1	72	73,7	75,9	77,7	80,4

∑	Média

VARIANCIA	Desvio Padrão
∑ - Diferença²/n-1	Raiz Quadrada da Variância

Aula - Fórmula Variância e Desvio Padrão

https://www.youtube.com/watch?v=Za8SUxUNVIo