A distância permeia todos os conceitos da Geometria Analítica, pois, nessa área da Matemática, temos a relação de elementos geométricos com os algébricos, e o elemento básico da Geometria é o ponto.
Um dos conceitos básicos da Geometria é que a menordistância entre dois pontos é dada por uma reta. Na Geometria Analítica, esses pontos recebem coordenadas no plano cartesiano e, por meio dessas coordenadas, podemos encontrar o valor da distância entre dois pontos.
Distância entre dois pontos: representação geométrica
Vamos representar dois pontos quaisquer no plano cartesiano.
A distância entre os pontos A e B é a medida do segmento que tem os dois pontos como extremidade. Por se tratar de dois pontos quaisquer, representaremos as coordenadas desses pontos de maneira genérica.
Sabe-se que os eixos coordenados do plano cartesiano são ortogonais, portanto, podemos construir um triângulo retângulo utilizando os pontos A e B, como mostra a figura a seguir.
Fórmula para o cálculo da distância entre dois pontos
Note que o segmento AB é a hipotenusa do triângulo AOB, e a medida de AB corresponde à distância entre esses dois pontos. Por se tratar de um triângulo retângulo, podemos aplicar o teorema de Pitágoras:
d2AB = AO2 = BO2
Entretanto, temos:
AO = XB – XA e BO = YB – YA
Portanto, a expressão fica da seguinte forma:
d2AB = (XB – XA)2 + (YB -YA)2
Por fim, temos que:
Note que basta fazer as diferenças das coordenadas de cada um dos pontos e elevar ao quadrado.
Exemplo
Calcule a distância entre os pontos A (4,5) e B(1,1) e represente-os geometricamente.
Como vimos anteriormente, basta aplicar a expressão para o cálculo da distância entre dois pontos. Sendo assim:
Geometricamente:
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